Question

如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A₁CB.

(2)求证：A₁F⊥BE.

(3)线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由．

Answer 1

 (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.

又DE⊄平面A₁CB，∴DE∥平面A₁CB.

(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

∴DE⊥AC.

∴DE⊥A₁D，DE⊥CD.

∴DE⊥平面A₁DC.

而A₁F⊂平面A₁DC，∴DE⊥A₁F.

又A₁F⊥CD，

∴A₁F⊥平面BCDE.∴A₁F⊥BE.

(3)解析：线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知，DE⊥平面A₁DC，∴DE⊥A₁C.

又P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，∴A₁C⊥DP.∴A₁C⊥平面DEP.从而A₁C⊥平面DEQ.

故线段A₁B上存在点Q，使得A₁C⊥平面DEQ.