Question

3．过点P（2，1）作圆x²+y²=1的两条切线PA，PB，其中A、B为切点，求直线AB方程．

Answer 1

分析 由题意可知O，A，P，B四点共圆，求出OP中点坐标，由两点间的距离公式求出|OP|，得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差得答案．

解答 解：如图，

∵PA，PB是圆x²+y²=1的两条切线，∴O，A，P，B四点共圆，
OP中点M（1，$\frac{1}{2}$），|OP|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
则以M为圆心，以OP为直径的圆的方程为$（x-1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}$，
整理得：x²+y²-2x-y=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-y=0②}\end{array}\right.$，①-②得：2x+y-1=0．
∴直线AB方程为2x+y-1=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了过圆的两切点的直线的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．