Question

12．设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（n+1）log₂a_n+1．证明：$\frac{1}{b_1}$++…+$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$+$\frac{1}{b_n}$＜1．

Answer 1

分析 （1）通过联立S₃=7=a₁+a₂+a₃与a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，可求出公比q，进而代入S₃=7可求出首项，进而整理即得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （1）解：∵数列{a_n}是等比数列，S₃=7=a₁+a₂+a₃，
又∵a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴6a₂=a₁+3+a₃+4=a₁+a₃+（a₁+a₂+a₃），即5a₂=2a₁+2a₃，
记数列{a_n}的公比为q，则5a₁q=2a₁+2a₁q²，
∴2q²-5q+2=0，即（2q-1）（q-2）=0，解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
又∴S₃=7=a₁（1+2+4），即a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）证明：由（1）可知b_n=（n+1）log₂a_n+1=n（n+1），
∵$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…\frac{1}{{{b_{n-1}}}}+\frac{1}{b_n}=1-\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力及裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．