Question

18．用min{a，b}表示a，b二个数中的较小者．设f（x）=min{$lo{g}_{\frac{1}{4}}x+3，lo{g}_{2}x$}，则f（x）的最大值为2．

Answer 1

分析 讨论当$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$+3≤log₂x，当$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$+3＞log₂x，由对数函数的单调性可得x的范围，f（x）的解析式，再由单调性求得最大值．

解答 解：当$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$+3≤log₂x，即为3-$\frac{1}{2}$log₂x≤log₂x，
即$\frac{3}{2}$log₂x≥3，解得x≥4，
即有f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$+3，当x=4时，取得最大值3-1=2；
当$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$+3＞log₂x，解0＜x＜4，
即有f（x）=log₂x，由f（x）递增，则f（x）＜2．
综上可得f（x）的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．