Question

7．O为△ABC内一点，记x=S_△BOC，y=S_△AOC，z=S_△AOB，求证：x•$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 设OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=α，∠AOC=β，用a，b，c，α，β表示出x，y，z，求出x•$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$的坐标．

解答 解：设OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=α，∠AOC=β，
则A（a，0），B（bcosα，bsinα），C（ccosβ，-csinβ）．
∴x=S_△BOC=$\frac{1}{2}bc$sin（2π-α-β）=-$\frac{1}{2}$bcsin（α+β）=-$\frac{1}{2}$bcsinαcosβ-$\frac{1}{2}$bccosαsinβ，y=S_△AOC=$\frac{1}{2}acsinβ$，z=S_△AOB=$\frac{1}{2}absinα$．
∴x•$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$=（-$\frac{1}{2}$bcsinαcosβ-$\frac{1}{2}$bccosαsinβ，0）+（$\frac{1}{2}$abccosαsinβ，$\frac{1}{2}abc$sinαsinβ）+（$\frac{1}{2}$abcsinαcosβ，-$\frac{1}{2}abc$sinαsinβ）=（0，0）．
∴x•$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算，向量在解中的应用，属于中档题．