Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），定义函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）试说明函数y=f（x）可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？
（4）若函数f（x）的图象关于x=x₀对称，且0＜x₀＜$\frac{π}{2}$，求x₀．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式得出f（x）并用二倍角公式化简，使用周期公式得出周期；
（2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出；
（3）根据函数图象平移规律得出；
（4）令f（x₀）=±1，结合x₀的范围求出x₀．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}+2kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+2kπ$，
∴函数f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{2π}{3}+2kπ$]．
（3）f（x）=2sin2（x+$\frac{π}{12}$）．
∴f（x）可看做是由y=sin2x的图象先向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍得到的．
（4）∵f（x）的图象关于x=x₀对称，∴f（x₀）=±1，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x₀=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$．∵0＜x₀＜$\frac{π}{2}$，∴x₀=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式，三角函数恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．