Question

设函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx．
（1）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；
（2）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出a=

4

5

，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；
（2）求f′（x），所以f′（x）≥0对于x＞0时恒成立，进而得到ax²-2x+a≥0对于x＞0时恒成立，所以得到a≥

2x

x2+1

，而

2x

x2+1

的最大值是1，所以便得到a≥1．

解答： 解：（1）f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

；
∴f′（2）=a+

a

4

-1=0，解得a=

4

5

；
∴f′（x）=

4

5

+

4

5x2

-

2

x

=

2(x-2)(2x-1)

5x2

，x＞0，令f′（x）=0，解得：x=

1

2

，或2；
∴x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0；x∈（

1

2

，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴x=

1

2

时，f（x）取得极大值f（

1

2

）=2ln2-

6

5

；
（2）若f（x）在定义域上是增函数，则f′（x）≥0在x＞0时恒成立；
∵f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，∴需x＞0时ax²-2x+a≥0恒成立；
化ax²-2x+a≥0为a≥

2x

x2+1

恒成立，∵

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1为所求．

点评：考查极值的概念，根据极值定义求极值，函数单调性和函数导数符号的关系．而对于第二问的关健是得到式子a≥

2x

x2+1

．