Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n（m²-3m） 对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{}为等差数列，求出{S_n}的通项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法求数列{b_n}的前n项和，再求最值，利用T_n（m²-3m），即可求得结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵，∴当n≥2时，，
整理得，-=1（n≥2），（2分）
又，（3分）
∴数列{}为首项和公差都是1的等差数列．              （4分）
∴=n，
又S_n＞0，∴S_n=                       （5分）
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=，又a₁=S₁=1适合此式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=；（（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n===-（8分）
∴T_n=1-+-+…+-=1-=（10分）
∴T_n≥，
依题意有（m²-3m），解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查解不等式，属于中档题．