Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求证：数列{S_n²}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2

4 S 4 n -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a_nS_n-a_n²=1，得n≥2时，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，整理后根据等差数列定义可得结论，求出S_n，根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（Ⅱ）利用裂项相消法可求得T_n，易判断T_n的单调性，由单调性可求得T_n的最小值；

解答：解：（Ⅰ）∵2a_nS_n-a_n²=1，
∴当n≥2时，2（S_n-S_n-1）S_n-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，Sn2-Sn-12=1（n≥2），又S12=1，
∴数列{S_n²}为首项和公差都是1的等差数列．
∴Sn2=1+1×（n-1）=n，由a_n＞0知S_n＞0，∴S_n=

n

．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，
又a₁=S₁=1适合此式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

n

-

n-1

．
（Ⅱ）∵b_n=

2

4 S 4 n -1

=

2

4n2-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
=1-

1

2n+1

，
可知T_n递增，则当n=1时，T_n取得最小值为

2

3

．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式及数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．