Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2anSn-

a

2 n

=1，．
（Ⅰ）求证数列{

S

2 n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

2

4 S 4 n -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使Tn＞

1

6

(m2-3m)对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2anSn-

a

2 n

=1，知当n≥2时，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，故

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），由此能够证明数列{

S

2 n

}为等差数列．并能求出求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

2

4 S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，知Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

2n

22n+1

，故Tn≥

2

3

，由此能求出最大正整数m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵2anSn-

a

2 n

=1
当n≥2时，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，

S

2 n

-

S

2 n-1

=1（n≥2），（2分）
又

S

2 1

=1，（3分）
∴数列{

S

2 n

}为首项和公差都是1的等差数列．（4分）
∴

S

2 n

=n，又S_n＞0，∴Sn=

n

（5分）
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n

-

n-1

，
又a₁=S₁=1适合此式              （6分）
∴数列{a_n}的通项公式为an=

n

-

n-1

（7分）
（Ⅱ）∵bn=

2

4 S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴Tn≥

2

3

，依题意有

2

3

＞

1

6

(m2-3m)，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．