Question

下列四个判断：
①?x∈R，x²-x+1≤0；
②已知随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，则P（X≤0）=0.28；
③已知（x²+

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和为32，则展开式中x项的系数为20；
④

∫

1 0

1-x2

dx＞

∫

e 1

1

x

dx
其中正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，可得不存在x∈R，x²-x+1≤0；
②由于随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，利用对称性可得P（X≤0）=P（X＞6）
=1-0.72=0.28；
③（x²+

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和为32，取x=1，则2ⁿ=32，解得n=5．由通项公式Tr+1=

C

r 5

(x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

x10-3r，令10-3r=1，解得r即可得出；
④由

∫

1 0

1-x2

dx=

1

2

×π×12=

π

2

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，即可判断出．

解答： 解：①∵x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，因此不存在x∈R，x²-x+1≤0，不正确；
②∵随机变量X服从正态分布N（3，σ²），P（X≤6）=0.72，∴P（X≤0）=P（X＞6）=1-0.72=0.28；
③（x²+

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和为32，取x=1，则2ⁿ=32，解得n=5．由通项公式Tr+1=

C

r 5

(x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

x10-3r，令10-3r=1，解得r=3，∴展开式中x项的系数=

C

3 5

=10，因此不正确；
④∵

∫

1 0

1-x2

dx=

1

2

×π×12=

π

2

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，∴

∫

1 0

1-x2

dx＞

∫

e 1

1

x

dx正确．
其中正确的个数有2个．
故选：B．

点评：本题中考查了二次函数的单调性、正态分布的性质、二项式定理、定积分的计算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．