题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
平面
为正三角形, 侧面
是边长为
的正方形,
为
的中点.
(1)求证平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)试判断直线与平面
的位置关系,并加以证明.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)直线
与平面
相交.证明见解析
【解析】
(1)根据线面平行的判定定理,在面内找一条直线平行于
即可.所以连接
交
与点
,再连接
,由中位线定理可得
,即可得证;
(2)取的中点
,连接
.分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,再根据二面角的向量方法即可求出;
(3)根据平面的法向量与直线
的方向向量的关系,即可判断直线
与平面
的位置关系.
(1)由题意,三棱柱为正三棱柱.
连接. 设
,则
是
的中点.连接
, 由
,
分别为
和
的中点,得
.又因为
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)取的中点
,连接
.
因为为正三角形,且
为
中点,所以
.
由,
分别为
和
的中点,得
,
又因为平面
, 所以
平面
,即有
,
.
分别以,
,
为
轴,
轴,
轴,如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
设平面的法向量
,
由,
,得
令,得
.
设平面的法向量
,
由,
,得
令,得
.
设二面角的平面角为
,则
.
由图可得二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为
.
(3)结论:直线与平面
相交.
证明:因为,
,且
,
所以.
又因为平面的法向量
,且
,
所以与
不垂直,
因为平面
,且
与平面
不平行,
故直线与平面
相交.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了了解年研发资金投人量(单位:亿元)对年销售额
(单位:亿元)的影响.对公司近
年的年研发资金投入量
和年销售额
的数据,进行了对比分析,建立了两个函数模型:①
,②
,其中
、
、
、
均为常数,
为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令
,
,经计算得如下数据:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立关于
的回归方程;
(ⅱ)若下一年销售额需达到
亿元,预测下一年的研发资金投入量
是多少亿元?
附:①相关系数,
回归直线中公式分别为:
,
;
②参考数据:,
,
.