Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的周长为定值.

【解析】

（1）根据已知条件结合，即可求出标准方程；

（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出关系，直线与椭圆联立，求出相交弦长，再用两点间距离公式，求出长，求出 的周长，即可判定结论.

解: (1)由题可知，则①

直线的方程为即，所以②

联立①②，解得，又，

所以椭圆的标准方程式为.

(2)因为直线与圆相切，

所以，即

设，联立

得，

所以，

则由根与系数的关系可得

所以，

又所以，

因为

同理，所以

所以的周长为定值.