Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）证明函数f（x）是R上的增函数；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）令g（x）=

x

f(x)

，判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．
（2）利用函数的单调性求函数的值域；
（3）用函数奇偶性的定义进行判断．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）
=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2（2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
f（x）的值域为（-1，1）；
（3）因为g（x）=

x

f(x)

=

x(2x+1)

2x-1

，
所以g（x）的定义域是{x|x≠0}，
g（-x）=

-x(2x+1)

2x-1

=

x(2x+1)

2x-1

=g（x），
函数g（x）为偶函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，一般用定义；还考查了证明函数的单调性，一般用定义和导数，用定义时，要注意变形到位，用导数时，要注意端点．