Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为AB，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若CC₁=CB₁，CA=CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．证得四边形AMNP为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；
（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．

解答： 证明：（1）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．
因为C₁N=NB₁，C₁P=PA₁，所以NP∥A₁B₁，NP=

1

2

A₁B₁．   
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB．
故NP∥AB，且NP=

1

2

AB．
因为M为AB的中点，所以AM=

1

2

AB．
所以NP=AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP．                          
因为AP?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
所以MN∥平面AA₁C₁C．             
（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．      
因为CC₁=CB₁，N为B₁C₁的中点，所以CN⊥B₁C₁．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以CN⊥BC．
因为平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC．CN?平面CC₁B₁B，
所以CN⊥平面ABC．                       
因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB．          
因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN=C，
所以AB⊥平面CMN．

点评：本题考查线面平行的判定定理和线面、面面垂直的判定和性质定理，考查逻辑推理能力，注意定理的条件的全面性，属于基础题．