Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，-$\frac{1}{2}$）与向量$\overrightarrow{n}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角tanA的值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由向量共线得到sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）=-$\frac{1}{2}$，通过三角形函数的化简，得到sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，由于A∈（0，π），即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，-$\frac{1}{2}$）与向量$\overrightarrow{n}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共线，
∴sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）=-$\frac{1}{2}$，
∴sin²A+$\sqrt{3}$sinAcoA=-$\frac{1}{2}$，
∴2sin²A-1+2$\sqrt{3}$sinAcoA=-2
∴-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=-2，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，
∴2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∵A是△ABC的内角
∴A=$\frac{5π}{6}$，
∴tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查了向量共线定理、和差化积、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．