Question

14．已知a＞0，b＞0且2a+b=1，若不等式$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥m恒成立，则m的最大值等于（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0且2a+b=1，可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（2a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$，结合基本不等式，不等式$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥m恒成立，即可求出m的最大值．

解答 解：由a＞0，b＞0且2a+b=1，
可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（2a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$
≥5+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{2b}{a}}$=5+4=9，
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．
若不等式$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥m恒成立，
则m≤9，
即m的最大值为9．
故选：B．

点评 本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件．