Question

【题目】已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．

∵f'（x）=e﹣x（2x+3）﹣f（x），

∴ex[f（′x）+f（x）]=2x+3，

∴exf（x）=x2+3x+c，

∵f（0）=1，

∴1=0+0+c，

解得c=1

∴f（x）=（x2+3x+1）e﹣x，

∴f′（x）=﹣（x2+x﹣2）e﹣x=﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．

令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣2，

当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，

可得：x=1时，函数f（x）取得极大值，x=﹣2时，函数f（x）取得极小值，

∵f（1）=，f（﹣2）=﹣e2＜0，f（﹣1）=﹣e，f（0）=1＞0，f（﹣3）=e3＞0

∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．

故m的取值范围是（﹣e，0]，

故选：A．