Question

3．（理科）四棱镜P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=AB=BC=2a，AD∥BC，PD=$\sqrt{3}$a，∠DAB=60°．
（Ⅰ）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC；
（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BC∥平面PAD，推导出l∥BC．
（Ⅱ）连结BD，以D为原点，分别以DA，DB，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，
∴l∥BC．
解：（Ⅱ）连结BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理，得：BD²=DA²+AB²-2DA•AB•cos60°=3a²，
∴BD=$\sqrt{3}a$，
∴AB²=AD²+BD²，∴△ABD为直角三角形，且AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，
∴以D为原点，分别以DA，DB，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵BD⊥平面PAD，∵$\overrightarrow{BD}$=（0，$\sqrt{3}a$，0）是平面PAD的法向量，
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
P（0，0，$\sqrt{3}a$），B（0，$\sqrt{3}a$，0），C（-2a，$\sqrt{3}a$，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}a$，-$\sqrt{3}a$），$\overrightarrow{BC}$=（-2a，0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}ay-\sqrt{3}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2ax=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}a•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45°．

点评 本题考查异面直线平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．