Question

14．如图，在二面角α-AB-β中，线段AC?α，BD?β，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=CD=4，AB=BD=2，则二面角α-AB-β的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设二面角α-AB-β的大小为θ，由已知得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）}^{2}$，利用向量数量积的应用进行求解，由此能求出二面角α-AB-β的大小．

解答 解：设二面角α-AB-β的大小为θ，
则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，且＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=θ，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
平方得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=${（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）}^{2}$=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BD}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$=4+16+4-2×4×2cosθ=16，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$．则θ=$\frac{π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，利用向量法结合向量数量积的应用是解决本题的关键．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．