Question

13．设函数f（x）=$\frac{x^2}{2}$-alnx（a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调性和极值；
（2）证明：当a＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点个数，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），${f^'}（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$，
①当a＜0，x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，
②当a＞0，由f′（x）=0，解得$x=\sqrt{a}$，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	$\frac{a（1-lna）}{2}$	递增

所以，f（x）的单调递减区间是$（0，\sqrt{a}）$，单调递增区间是$（\sqrt{a}，+∞）$；
所以f（x）在$x=\sqrt{a}$处取得极小值$f（\sqrt{a}）=\frac{a（1-lna）}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为$f（\sqrt{a}）=\frac{a（1-lna）}{2}$，
因为f（x）存在零点，所以$\frac{a（1-lna）}{2}≤0$，从而a≥e，
当a=e时，f（x）在区间$（1，\sqrt{e}）$上单调递减，且$f（\sqrt{e}）=0$，
所以$x=\sqrt{e}$是f（x）在区间$（1，\sqrt{e}]$上的唯一零点，
当a＞e时，f（x）在区间$（0，\sqrt{a}）$上单调递减，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0$，$f（\sqrt{e}）=\frac{e-a}{2}＜0$，
所以f（x）在区间$（1，\sqrt{e}]$上仅有一个零点，
综上可知，当a＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间$（1，\sqrt{e}]$上仅有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．