Question

3．已知三个平面两两垂直，给出命题：①它们的交线一定交于一点； ②它们的交线一定两两垂直； ③其中任意两个平面的交线一定与第三个平面垂直；④它们将空间分成8部分； 其中正确的命题一共有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用数学结合，先画出两两垂直的三个平面如图，结合所学知识，证明分析试题选项，即可求得答案．

解答 解：如图：

设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，
对于①，因为c与b交于一点，设c∩b=O．由O∈c，且c?α，有O∈α；又由O∈b，且b?β，有O∈β．于是O∈β∩α=a．
所以a，b，c交于一点（即O点），故①正确
对于②，在平面γ内，除点O外，任意取一点M，且点M不在这三个平面中的任何一个平面内，
过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，
则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．                                       
再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，c⊥a，从而证得a、b、c互相垂直；
故②正确；
由②知，③也成立，故③正确；
对于④，一个垂直平面α将空间分为两部分，将另一个垂直平面β相交将空间分为4部分，水平平面γ与上述两平面相交，空间即可被此2平面分为8部分，故④正确；
故选：D．

点评 考查了空间图形中线面关系，应紧扣性质和定理去分析．