Question

已知函数f（x）=2sinxsin（x+

π

6

）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；
（2）由x的范围，可得2x-

π

3

的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxsin（x+

π

6

）
=2sinx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin²x+sinxcosx
=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x=

3

2

+sin（2x-

π

3

）
则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
则f（x）的值域为[0，1+

3

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．