Question

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和P，且各株大树是否成活互不影响．已知两种大树各成活1株的概率为．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率；
（Ⅲ）用x，y分别表示甲、乙两种大树成活的株数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

解：设“甲种大树恰有i株成活”为事件A_i（i=0，1，2），则P（A_i）=；
设“乙种大树恰有i株成活”为事件B_i（i=0，1，2），则P（B_i）=．
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率P=P（A₁B₁）
=×=，即（2P-1）²=0，
解得P= …（3分）
（Ⅱ）设“甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数”为事件C，
则P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀）
=++=
所以，甲种大树成活的株数大于乙种大树成活的株数的概率为．…（6分）
（Ⅲ）由题意知，ξ所有可能取值为0，1，2．…（7分）
P（ξ=0）=P（A₂B₂）+P（A₁B₁）+P（A₀B₀）
=++=，
P（ξ=2）=P（A₂B₀）+P（A₀B₂）=+=，
∴
所以ξ服从的分布列为：

ξ	0	1	2
P

…（10分）
故…（12分）
分析：设“甲种大树恰有i株成活”为事件A_i（i=0，1，2），则P（A_i）=，设“乙种大树恰有i株成活”为事件B_i（i=0，1，2），则P（B_i）=．
（Ⅰ）由题意可得两种大树各成活1株的概率P=P（A₁B₁），代入可得P的方程，解之可得；
（Ⅱ）设事件为C，则P（C）=P（A₂B₁）+P（A₂B₀）+P（A₁B₀），代入可得；
（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，分别可求其概率，可得分布列，由期望的定义可得答案．
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．