Question

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

2

3

和

1

2

，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析：（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为

C

1  2

2

3

 

1

3

，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：设A_k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
B_l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则A_k，B_l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（A_k）=C₂^k（

2

3

）^k（

1

3

）^2-k，P（B_l）=C₂¹（

1

2

）^l（

1

2

）^2-l．
据此算得P（A₀）=

1

9

，P（A₁）=

4

9

，P（A₂）=

4

9

．
P（B₀）=

1

4

，P（B₁）=

1

2

，P（B₂）=

1

4

．
（1）所求概率为P（A₂•B₂）=P（A₁）•P（B₁）=

4

9

×

1

2

=

2

9

．
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=P（A₀）•P（B₀）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

．
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）=

4

9

×

1

4

=

1

9

．
综上知ξ有分布列

从而，ξ的期望为
Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ₁，ξ₂分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ₁：B（2，

2

3

），ξ₂：B（2，

1

2

）
故有Eξ₁=2×

2

3

=

4

3

，Eξ₂=2×

1

2

=1
从而知Eξ=Eξ₁+Eξ₂=

7

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望、独立重复试验的概率等知识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力．