Question

正四棱锥V-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2

6

，则（　　）

• A．球的表面积为18π
• B．AB两点的球面距为3arccos

  1

  9

• C．VA两点的球面距为3

  2

  arccos

  1

  3

• D．球的体积

  3

  2

  π

Answer 1

分析：设球的半径为R，利用正四棱锥的性质和球的性质，结合勾股定理列方程，解之得球半径为3．然后根据球的表面积公式和体积公式进行计算，可得A、D两项不正确；根据余弦定理和球面距离的公式，通过计算可得B正确，而C不正确．

解答：解：设外接球球心为O，正方形ABCD中心为O₁，连接VO₁，则球心O在VO₁上，连接AC、OA、OB
∵正方形ABCD边长为4，∴对角线AC=4

2

，O₁A=

1

2

AC=2

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=

VA2-O1A2

=

24-8

=4
设外接球半径为R，则Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=4-R
∴R²=（4-R）²+（2

2

）²，解之得：R=3
因此，球的表面积为S=4π×3²=36π，故A不正确；
△AOB中，cos∠AOB=

32+32-42

2×3×3

=

1

9

，故∠AOB=arccos

1

9

，所以AB两点的球面距为R×∠AOB=3arccos

1

9

，故B正确；
类似B的方法，可得VA两点的球面距为3arccos（-

1

3

），故C不正确；
由球的体积公式，得V_球O=

4

3

π×33=36π，故D不正确．
故选B

点评：本题已知球内接正四棱锥的底面边长和侧棱长的情况下，求球的表面积、体积和球面距离，着重考查了正四棱锥的性质和球的性质，余弦定理和反三角函数的应用等知识点，属于中档题．