Question

如图：平面四边形ABCD中，AB=1，∠BCD=150°，对角线BD垂直于AB且BD=2．沿BD把△ABD折起，使二面角A-BD-C为150°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：设△BCD的外接球的球心为O′，三棱锥A-BCD外接球的球心为O，求出OO′=

1

4

，△BCD的外接圆的半径，可得三棱锥A-BCD外接球的半径，即可求得结论．

解答： 解：由题意，设△BCD的外接球的球心为O′，三棱锥A-BCD外接球的球心为O，则
∵AB=1，二面角A-BD-C为150°，
∴A到平面BCD的距离为

1

2

，
∴OO′=

1

4

，
设△BCD的外接圆的半径为r，则2r=

BD

sin150°

=4，
∴r=2，
∴三棱锥A-BCD外接球的半径为

4+ 1 16

，
∴三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π（4+

1

16

）=

65π

4

．
故答案为：

65π

4

．

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．