Question

已知函数f（x）=ax²-e^x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x²-e^x，f′（x）=2x-e^x，f^″（x）=2-e^x，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2-2＜0，即可得出．
（II）f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），可得f′（x）=2ax-e^x=0有两个实根x₁，x₂（x₁＜x₂），由f^″（x）=2a-e^x=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a-2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=-1＜0，f′（1）=2a-e＞0，可得0＜x₁＜1＜ln2a，进而得出．

解答： （Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x²-e^x，
f′（x）=2x-e^x，f^″（x）=2-e^x，
令f^″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f^″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．
∴当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2-2＜0，
∴函数f（x）在R上单调递减．
（Ⅱ）证明：f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），∴f′（x）=2ax-e^x=0有两个实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
由f^″（x）=2a-e^x=0，得x=ln2a．
f′（ln2a）=2aln2a-2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．
又f′（0）=-1＜0，f′（1）=2a-e＞0，
∴0＜x₁＜1＜ln2a，
由f′（x₁）=2ax1-ex1=0，可得ax1=

ex1

2

，
f（x₁）=a

x

2 1

-ex1=

ex1

2

•x1-ex1=ex1(

x1

2

-1)（0＜x₁＜1）．
∴可知：x₁是f（x）的极小值点，
∴f（x₁）＜f（0）=-1．

点评：本题考查了利用导数（两次求导）研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．