Question

12．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F₁，F₂，点P是双曲线上一点，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0，tan∠P{F_1}{F_2}=\sqrt{3}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． $3+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=60°，|F₁F₂|=2c，求得|PF₁|和|PF₂|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答 解：依$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0，tan∠P{F_1}{F_2}=\sqrt{3}$，
可知∠F₁PF₂=90°，|F₁F₂|=2c，∠PF₁F₂=60°，
∴|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|=$\sqrt{3}$c，|PF₁|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
由双曲线定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a=（$\sqrt{3}$-1）c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．