Question

2．在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由已知得$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，由此利用正弦定理和余弦定理能求出$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$的值．

解答 解：∵$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=1，
∴tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
由正弦定理和余弦定理得：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2abc}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=3．
故选：C．

点评 本题考查代数式求值，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．