Question

12．如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{3}$．记∠ACD=α，
∠BCD=β．
（Ⅰ）求证：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sinβ}{3sinα}$
（Ⅱ）若α=$\frac{π}{6}$，β=$\frac{π}{2}$，AB=$\sqrt{19}$，求BC 的长．

Answer 1

分析 （I）分别在△ACD和△BCD中使用正弦定理，根据sin∠ADC=sin∠BDC和$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$得出结论．
（II）利用（I）的结论可知$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，在△ABC中使用余弦定理解出BC．

解答 解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sinα}$，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{BD}{sinβ}$，
∵∠ADC+∠BDC=π，∴sin∠ADC=sin∠BDC，
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{AC}{BC}=\frac{sinβ}{3sinα}$．
（Ⅱ）∵$α=\frac{π}{6}$，$β=\frac{π}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{sinβ}{3sinα}=\frac{2}{3}$，∠ACB=α+β=$\frac{2π}{3}$．
设AC=2k，BC=3k，k＞0，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB，
即$19=4{k^2}+9{k^2}-2•2k•3k•cos\frac{2π}{3}$，
解得k=1，∴BC=3．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．