Question

2．已知α，β是△ABC的两锐角，且$（sinα+1）（1-\frac{1}{sinα}）＞（cosβ+1）（1-\frac{1}{cosβ}）$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由条件根据函数y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上是增函数，可得sinα＞cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β），可得α＞$\frac{π}{2}$-β，由此可得△ABC的第三个内角为π-（α+β）为锐角，从而得出结论．

解答 解：∵已知α，β是△ABC的两锐角，且$（sinα+1）（1-\frac{1}{sinα}）＞（cosβ+1）（1-\frac{1}{cosβ}）$，
由于sinα∈（0，1），cosβ∈（0，1），函数y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上是增函数，
∴sinα＞cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β），∴α＞$\frac{π}{2}$-β，即α+β＞$\frac{π}{2}$，
故△ABC的第三个内角为π-（α+β）为锐角，故△ABC为锐角三角形，
故选：A．

点评 本题主要考查函数y=（1+t）（1-$\frac{1}{t}$）在（0，1）上的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．