Question

过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线与椭圆交于A、B两点，若

AF

=

3

2

FB

，则椭圆的离心率等于（　　）

• A、

  2

  5

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设出椭圆方程，求得直线AB的方程，和椭圆方程联立后求得A，B两点的纵坐标，由

AF

=

3

2

FB

转化为纵坐标的关系得答案．

解答： 解：由题意设题意方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
椭圆左焦点F（-c，0），
直线AB的倾斜角为60°，则斜率为

3

，
∴直线AB的方程为y=

3

(x+c)．
联立

y= 3 (x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

，得(3a2+b2)y2-2

3

b2cy-3b4=0．
解得：y1=

3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

3 b2(c-2a)

3a2+b2

．
∵

AF

=

3

2

FB

，∴-y₁=

3

2

y₂．
即-

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=

3

2

3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
解得：e=

c

a

=

2

5

．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了数学转化思想方法，是中档题．