Question

13．已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为T_n是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有$|{{T_n}-1}|＜\frac{1}{10}$成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由3S_n=（n+2）a_n得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1f（x）
$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）叠乘得a_n=n（n+1）；
（2）$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
令$|{{T_n}-1}|=|{\frac{n}{n+1}-1}|$=$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{10}$得n＞9．

解答 解：（1）由3S_n=（n+2）a_n得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），
二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1f（x）
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）
∴$\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}=\frac{n}{n-2}$；…；$\frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}$；$\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{1}$；a₁=2
叠乘得a_n=n（n+1）；
（2）$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
令$|{{T_n}-1}|=|{\frac{n}{n+1}-1}|$=$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{10}$得n＞9
故满足条件的M存在，集合M={n|n＞9，n∈N^*}．

点评 本题考查了数列的递推式，叠乘求通项，裂项求和，属于中档题．