题目内容
已知抛物线y2=4x上两个动点B，C和点A（1，2），且∠BAC=90°．求证：动直线BC必过定点．
考点：抛物线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出抛物线上的点B（
，a），C（
，b），由∠BAC=90°借助于向量数量积等于0得到a，b的关系，由两点式求出BC所在直线的斜率，写出BC的点斜式方程，与a，b的关系式结合后由直线系方程得答案．
| a2 |
| 4 |
| b2 |
| 4 |
解答：
证明：设B（
，a），C（
，b），而A（1，2），
∴
=(
-1，a-2)，
=(
-1，b-2)，
由于∠BAC=90°，得向量
⊥
，
•
=0．
即（
-1，a-2）•（
-1，b-2）=0．
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过BC的直线的斜率为：
=
．
∴过BC的直线方程为y-b=
(x-
)，
整理得4x+ab-（a+b）y=0，即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线必过定点（5，-2）
| a2 |
| 4 |
| b2 |
| 4 |
∴
| AB |
| a2 |
| 4 |
| AC |
| b2 |
| 4 |
由于∠BAC=90°，得向量
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
即（
| a2 |
| 4 |
| b2 |
| 4 |
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过BC的直线的斜率为：
| a-b | ||||
|
| 4 |
| a+b |
∴过BC的直线方程为y-b=
| 4 |
| a+b |
| b2 |
| 4 |
整理得4x+ab-（a+b）y=0，即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线必过定点（5，-2）
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，是中档题．
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| A、3x-y-2=0 |
| B、3x+y-2=0 |
| C、x-y+1=0 |
| D、x-y-2=0 |