Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，利用勾股定理逆定理证明出，，利用线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出结论；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.

（1）取的中点，连接、，

，，为的中点，则，

又，即，又，所以，四边形为矩形，

，且，，

，，，则.

，，则为等边三角形，则，

，则，

，平面，平面，因此，平面平面；

（2）由（1）知，四边形为矩形，则，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如下图的空间直角坐标系，

则、、，，，

设平面的法向量为，

由，令，则，，

所以，平面的一个法向量为，

易知平面的一个法向量为，，

由图象可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.