Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由函数的奇偶性求对称区间上的解析式；

（2）将的表达式化简得到关于的二次函数的形式，讨论对称轴与所给区间的关系，求出最小值，满足题意，求出的值。

（1）是定义在上的奇函数，所以，

不妨设，则，，

若，则，故

所以.

（2）由（1）得，

当时，，

所以

令，则，

所以函数在上的最小值即为函数在上的最小值，

对称轴为，

当即时，函数在区间上是增函数，

所以，解得，

当，即时，，

化简得，，解得或，

因为，，所以此时，

当，即时，函数在区间上是减函数，

所以，解得，

所以，综上所述，存在，.