Question

【题目】已知，，其中为实常数.

（1）若函数在区间[2，3]上为单调递增函数，求的取值范围；

（2）高函数在区间上的最小值为，试讨论函数，的零点的情况.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据复合函数的单调性可知在上为单调递增函数且，由二次函数的图象与性质列出不等式求解即可；（2）换元法将函数解析式转化为一元二次函数，根据二次函数的图象与性质分类讨论求出函数在上的最小值，数形结合分析的零点.

（1）因为为增函数，且函数在区间上为单调递增函数时，

所以在上为单调递增函数，且，

则解得

综上，的取值范围是.

（2）由已知，

令 ，，

当时，.

①若，则在上为增函数，.

②若，则.

③若，则在上为减函数，.

所以，

画出函数的图象如下图所示：

由数形结合可知：当时，函数，无零点；

当时，函数，有1个零点；

当时，函数，有2个零点.