Question

11．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（-π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，且两相邻对称中心之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间$[0，\frac{π}{2}]$上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接求解函数的周期，利用函数的对称性，列出方程求解φ，然后利用正弦函数的单调增区间求解即可．
（2）转化求解函数的值域，利用对数的运算法则，化简求解即可．

解答 解：（1）周期T=π，所以ω=2，当$x=\frac{π}{6}$时，$2•\frac{π}{6}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，（2分）
得$φ=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，又-π＜φ＜0，所以取k=-1，得$φ=-\frac{5π}{6}$（2分）
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{5π}{6}）$，（1分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{5π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2}{3}π$，k∈Z
所以函数y=f（x）的单调递增区间是得$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2}{3}π]$（k∈Z），（2分）
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{5π}{6}≤\frac{π}{6}$，所以$f（x）=2sin（2x-\frac{5π}{6}）∈[-2，1]$，（2分）
所以log₂k=-f（x）∈[-1，2]，得$k∈[\frac{1}{2}，4]$． （3分）

点评 本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期意见解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．