Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

-3．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=

3

，且b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II）利用（I）的结论可得A，再利用余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴函数f（x）=

m

•

n

-3=

3

sin2x+2+2cos2x-3=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得到：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=1得，2sin(2A+

π

6

)=1，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

∵a=

3

且b+c=3，∴

1

2

=

9-2bc-3

2bc

，解得bc=2．
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．