Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B₁，B₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B₂F⊥AB₁，则椭圆C的离心率是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由B₂F⊥AB₁，可得$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=0，即可得出．

解答 解：F（c，0），A（a，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），
∴$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=（-c，b），$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=（a，b），
∵B₂F⊥AB₁，∴$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=-ac+b²=0，
∴a²-c²-ac=0，
化为：e²+e-1=0，0＜e＜1．
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．