Question

（Ⅰ）双曲线的离心率为

5

2

，且与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有公共焦点，求此双曲线的方程．
（Ⅱ） 从抛物线y²=4x上各点向x轴做垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

考点：轨迹方程,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据题意可得：c=

5

，

c

a

=

5

2

，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程；
（Ⅱ）先设出垂线段的中点为（x，y），（x₀，y₀）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的焦点坐标为（±

5

，0），∴c=

5

，
∵双曲线的离心率为

5

2

，
∴

c

a

=

5

2

，
∴a=4，
∴b=1，
∴双曲线的方程为

x2

4

-y2=1------（6分）
（Ⅱ）设垂线段的中点为（x，y），（x₀，y₀）是抛物线上的点，
则x=x₀，y=

y0

2

；即x₀=x，y=2y₀，（x₀，y₀）是抛物线上的点，
所以（2y）²=4x；即y²=x抛物线------（12分）

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的有关性质，考查求轨迹方程的方法．