Question

1．设f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）若f （x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．
（2）利用导函数是二次函数，判断导函数的最值，讨论a的范围，利用f （x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+x+2    令f′（x）=0，x=2或x=-1
f′（x）＞0解得-1＜x＜2    f′（x）＞0解得 x＞2或x＜-1
所以f（x）在（2，4），）上单调递减，在（1，2）上单调递增．---------------------（3分）-
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）=$\frac{10}{3}$．．
又f（4）-f（1）=-$\frac{27}{2}$+6＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=8-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$．------------------------------（6分）-
（2）由f′（x）=-x²+x+2a=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+2a，
当x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$+2a，令$\frac{2}{9}$+2a＞0，得a＞-$\frac{1}{9}$，
所以，当a＞-$\frac{1}{9}$时，f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上存在单调递增区间．------------------------------（12分）-

点评 本题考查函数与导函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．