Question

15．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；
（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：
①对?x∈R，f（x-2）=f（-x）；
②对?x∈R，0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x-1）²？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；
（2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，
由①可知函数f（x）的对称轴是x=-1，令最值为0，由此可知a=c；
由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c中，f（-1）=0，
所以a-b+c=0，即b=a+c；
又△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；
（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，
所以-$\frac{b}{2a}$=-1，即b=2a；
不妨令f（x）的最值为0，
则$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=0，
即b²=4ac，
所以4a²=4ac，
得出a=c；
由②知对?x∈R，都有0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x-1）²，
不妨令x=1，可得0≤f（1）-1≤0，
即f（1）-1=0，
所以f（1）=1，
即a+b+c=1；
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{b=2a}\\{a=c}\end{array}\right.$解得a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$；
当a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$（x+1）²，其顶点为（-1，0）满足条件①，
又f（x）-x=$\frac{1}{4}$（x+1）²，所以对?x∈R，都有0≤f（x）-x≤$\frac{1}{2}$（x+1）²，满足条件②．
所以存在a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{4}$时，f（x）同时满足条件①、②．

点评 本题考查了函数的零点与函数恒成立问题，也考查了综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，是综合性问题．