题目内容

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$；
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）在区间（0，2）上为减函数．

分析 （1）根据奇函数的定义即可证明，
（2）根据单调性的定义即可证明．

解答 证明：（1）f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=$\frac{{x}^{2}+4}{-x}$=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
设x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+4（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x1-x2）（1-$\frac{4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）=（x1-x2）$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，
∵0＜x1＜x2＜2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2＜4，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，2）上为减函数

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的证明，掌握定义是关键，属于基础题．

练习册系列答案
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②若每人只游览一个景点，每个景点只能一人游览，
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A．0B．$\frac{1}{2}$C．1D．2
1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数图象是（　　）
A．B．C．D．

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