Question

下列推理合理的命题个数是（　　）
①f（x）是增函数，则f′（x）＞0
②因为a＞b（a，b∈R），则a+2i＞b+2i
③△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB＞cosA+cosB
④直线l₁∥l₂，则k₁=k₂
⑤函数y=2x²-x⁴，则y有极大值为1，极小值为0．

• A、4
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,直线与圆,数系的扩充和复数

分析：①f（x）是增函数，则f′（x）≥0，可判断①错误；
②依题意知，a+2i与b+2i均为虚数，而虚数不能比较大小，可判断②错误；
③利用三角函数的性质可知，（sinA+sinB）-（cosA+cosB）=2cos

A-B

2

（sin

A+B

2

-cos

A+B

2

）＞0，可判断③正确
④直线l₁∥l₂，则直线l₁与l₂的斜率不存在或k₁=k₂（且在y轴上的截距不相等），可判断④错误；
⑤利用导数可求得函数y=2x²-x⁴的极大值与极小值，从而可判断⑤正确．

解答： 解：①f（x）是增函数，则f′（x）≥0，故①错误；
②因为a＞b（a，b∈R），∴a+2i与b+2i均为虚数，二者不能比较大小，故②错误；
③△ABC为锐角三角形，故A∈（0，

π

2

）、B∈（0，

π

2

）、C=π-（A+B）∈（0，

π

2

），
所以，A+B∈（

π

2

，π），

A+B

2

∈（

π

4

，

π

2

），同理可得

A-B

2

∈（-

π

4

，

π

4

），
所以，sin

A+B

2

＞cos

A+B

2

＞0，cos

A-B

2

＞0，
所以（sinA+sinB）-（cosA+cosB）=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

-2cos

A+B

2

cos

A-B

2

=2cos

A-B

2

（sin

A+B

2

-cos

A+B

2

）＞0，
所以，sinA+sinB＞cosA+cosB，故③正确；
④直线l₁∥l₂，则直线l₁与l₂的斜率不存在或k₁=k₂（且在y轴上的截距不相等），故④错误；
⑤因为y=2x²-x⁴，所以，y′=4x-4x³=4x（1-x）（1+x），
当x＜-1或0＜x＜1时，y′＞0；当-1＜x＜0或x＞1时，y′＜0，
所以，当x=-1与x=1时，y=2x²-x⁴取得极大值均为1，当x=0时，y=2x²-x⁴取得极小值均为0，故⑤正确；
综上所述，推理合理的命题个数是2个，为③与⑤，
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，利用导数考查函数的单调性与极值，考查三角函数的单调性与和差化积公式的应用，考查推理及运算能力，属于难题．