Question

已知函数f(x)=

3

sinωx-cosωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为6π．
（Ⅰ）求f(

3π

2

)的值；
（Ⅱ）设α，β∈[-

π

2

，0]，f(3α+

π

2

)=-

10

13

，f(3β+2π)=

6

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，根据已知的周期，利用周期公式求出ω的值，确定出函数解析式，即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一问确定出的函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∵函数f（x）的最小正周期为6π，
∴T=

2π

ω

=6π，即ω=

1

3

，
∴f（x）=2sin（

1

3

x-

π

6

），
∴f（

3π

2

）=2sin（

1

3

×

3π

2

-

π

6

）=2sin

π

3

=2×

3

2

=

3

；
（Ⅱ）∵f（3α+

π

2

）=sin[

1

3

（3α+

π

2

）-

π

6

]=2sinα=-

10

13

，
∴sinα=-

5

13

，
∵f（3β+2π）=2sin[

1

3

（3β+2π）-

π

6

]=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

，
∴cosβ=

3

5

，
∵α，β∈[-

π

2

，0]，
∴cosα=

1-sin2α

=

12

13

，sinβ=-

1-cos2β

=-

4

5

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×（-

4

5

）=

56

65

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．