题目内容

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.

(1)求f(0);

(2)当x∈(0,)时,f(x)+2＜logax恒成立,求a的取值范围.

解:(1)令x=1,y=0,便可求出f(0)=-2.

(2)令y=0,可得f(x)=x2+x-2,

由f(x)+2＜logax,得x2+x＜logax.

因为x∈(0,),所以x2+x＞0.

当a＞1时,logax＜0,说明a＞1不合题意,得0＜a＜1.

设h(x)=x2+x-logax(0＜x＜,0＜a＜1),

依题意h(x)＜0恒成立.

因为h′(x)=2x+1＞0恒成立,

所以h(x)在(0,)上是增函数,

得h(x)＜h()=-loga.

所以由h(x)＜0恒成立得-loga≤0恒成立,得a的取值范围是［,+∞).

练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，若存在正常数M使得|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数，给出下列函数：①f（x）=x2；②f(x)=
x
x2+x+1
；③f(x)=
2
(sinx+cosx)；④f（x）=2sinx，其中是F函数的序号为
 
．
设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；                ②f（x）=2x；                    ③f（x）=
xx2+x+1
；
你认为上述三个函数中，哪几个是f函数，请说明理由．
有一学生对函数f（x）=xcosx进行了研究，得到如下五条结论：①函数f（x）在（一π，0）上单调递增，在（0，π）上单调递减；
②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；
③函数y=f（x）图象的一个对称中心是(
π2
，0)；
④函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
⑤函数y=f（x）的图象与直线．y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；其中正确结论的序号是
②⑤
②⑤
．（写出所有你认为正确的结论的序号）
若二次函数f(x)=a
x
2
 
+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；
⑤函数g(x)=a
x
2
 
-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论是
①②④⑤
①②④⑤
（写出所有正确结论的编号）．
设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为F函数．现给出下列函数①f（x）=x2，②f（x）=
x2
x2-x+1
③f（x）=x（1-2x），④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．其中是F函数的序号为（　　）

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