Question

已知斜率为k=1的直线与抛物线y=x²交于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程（m为参数），利用根与系数的关系，得到x₁+x₂与x₁x₂关于m的表示式．设M（x，y），由中点坐标公式算出x=

1

2

，y=

1

2

+m，最后根据一元二次方程根的判别式算出y＞

1

4

，可得线段AB中点M的轨迹方程．

解答： 解：设M的坐标为（x，y），斜率为1的直线方程为y=x+m，且A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直线代入抛物线方程，消去y，得x²-x-m=0，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=1，
∵点M是线段AB的中点，
∴x=

1

2

，y=

1

2

+m
∵直线与抛物线有两个不同交点，
∴△=1²+4m＞0，解之得m＞-

1

4

，
结合y=

1

2

+m可得y＞

1

4

，
因此，线段AB中点M的轨迹方程为：x=

1

2

（y＞

1

4

）．

点评：本题给出斜率为1的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB中点的轨迹方程，着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．