题目内容
17．数列{an}中，有a1=1，an+1=$\frac{1}{3}$Sn，（n∈N*），求：（1）数列{an}的通项公式；
（2）a2+a4+a6+…+a2n的值．
分析 （1）通过an+1=$\frac{1}{3}$Sn与an+2=$\frac{1}{3}$Sn+1作差、整理得an+2=$\frac{4}{3}$an+1，进而可知数列{an+1}是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知数列{a2n}是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{16}{9}$为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即得结论．
解答 解：（1）∵an+1=$\frac{1}{3}$Sn，
∴an+2=$\frac{1}{3}$Sn+1，
两式相减得：an+2-an+1=$\frac{1}{3}$an+1，
整理得：an+2=$\frac{4}{3}$an+1，
又∵a2=$\frac{1}{3}$a1不满足上式，
∴数列{an+1}是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{3}^{n-1}}，}&{n≤2}\\{\frac{4}{{3}^{n-1}}，}&{n≥3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知数列{a2n}是以$\frac{1}{3}$为首项、$\frac{16}{9}$为公比的等比数列，
∴a2+a4+a6+…+a2n=$\frac{\frac{1}{3}[1-（{\frac{16}{9}）}^{n}]}{1-\frac{16}{9}}$=$\frac{3}{7}$•$（\frac{16}{9}）^{n}$-$\frac{3}{7}$．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．
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| A． | θ∈（0，$\frac{π}{2}$） | B． | θ=$\frac{π}{2}$ | C． | θ∈（$\frac{3π}{4}$，π） | D． | θ=$\frac{3π}{4}$ |